数学分析证明题。如图。
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运用柯西判别法的极限形式
lim(x->+∞) x^(5/4)*(lnx)^2/x√(x+1)
=lim(x->+∞) x^(1/4)*(lnx)^2/√(x+1)
令t=1/x
原式=lim(t->0) (-lnt)^2/[t^(-1/4)*√(1+t)]
=lim(t->0) (lnt)^2/t^(-1/4)
=lim(t->0) 2lnt*(1/t)/[(-1/4)*t^(-5/4)]
=lim(t->0) -8*(lnt)/t^(-1/4)
=lim(t->0) -8*(1/t)/[(-1/4)*t^(-5/4)]
=lim(t->0) 32*t^(1/4)
=0
因为5/4>1，所以原积分收敛
lim(x->+∞) x^(5/4)*(lnx)^2/x√(x+1)
=lim(x->+∞) x^(1/4)*(lnx)^2/√(x+1)
令t=1/x
原式=lim(t->0) (-lnt)^2/[t^(-1/4)*√(1+t)]
=lim(t->0) (lnt)^2/t^(-1/4)
=lim(t->0) 2lnt*(1/t)/[(-1/4)*t^(-5/4)]
=lim(t->0) -8*(lnt)/t^(-1/4)
=lim(t->0) -8*(1/t)/[(-1/4)*t^(-5/4)]
=lim(t->0) 32*t^(1/4)
=0
因为5/4>1，所以原积分收敛
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