Question

一道二项式和函数的题

已知函数f(n)=C¹n+2C²n+3C³n+……+nCnn（n∈N*)⑴讨论f(n)的单调性⑵求使f(n)＜450的最大正整数n⑶若a n=f(n)，求数列｛a n}的前n项和Sn

Answer 1

由于 k*C(k)(n)=n*C(k-1)(n-1),
故 f(n)=n*C(0)(n-1)+n*C(1)(n-1)+……+n*C(n-1)(n-1)=n*2^(n-1), n∈N*
(1) 显然，f(n)单调增。
(2) f(n)＜450==>n*2^(n-1)<450==>最大正整数n=7.
(3) Sn=1+2*2+3*2^2+……+n*2^(n-1)
=[1+2+2^2+……+2^(n-1)]+[2+2^2+……+2^(n-1)]+[2^2+……+2^(n-1)]+……+[2^(n-2)+2^(n-1)]+2^(n-1)
=[2^n-1]+[2^n-2]+[2^n-2^2]+……+[2^n-2^(n-2)]+[2^n-2^(n-1)]
=n*2^n-(1+2+2^2+……+2^(n-1))
=n*2^n-(2^n-1)
=(n-1)*2^n+1.