Question

求函数z=e^2x（x+y^2+2y）的极值

Answer 1

计算过程如下：

f（x）(x,y)=e^(2x)+2(x+y^2+2y)e^(2x) 

f（y）(x,y)=(2y+2)e^(2x)

分别令它们=0

解出x=0.5，y=-1

极值点且为极小值

所以极值为f(0.5,-1)=-e/2

函数极值意义：

如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。

因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。

Answer 2

f(x,y)=e^2x (x+y²+2y)

令

f'x=2e^2x (x+y²+2y)+e^2x=e^2x (2x+2y²+4y+1)=0

f'y=e^2x (2y+2)=0

得驻点(1/2，-1)

f''xx=2e^2x (2x+2y²+4y+1)+2e^2x=2e^2x (2x+2y²+4y+2)=A

f''xy=e^2x (4y+4)=B

f''yy=2e^2x=C

A=2e

B=0

C=2e

AC-B²=4e²＞0，且A＞0

所以(1/2，-1)为极小值点

z=e/2

求解函数的极值

寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。

因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。

Answer 3

f(x,y)=e^2x (x+y²+2y)
令
f'x=2e^2x (x+y²+2y)+e^2x=e^2x (2x+2y²+4y+1)=0
f'y=e^2x (2y+2)=0
得驻点(1/2，-1)
f''xx=2e^2x (2x+2y²+4y+1)+2e^2x=2e^2x (2x+2y²+4y+2)=A
f''xy=e^2x (4y+4)=B
f''yy=2e^2x=C
A=2e
B=0
C=2e
AC-B²=4e²＞0，且A＞0
所以(1/2，-1)为极小值点
z=e/2

Answer 4

简单分析一下，详情如图

Answer 5

引用sinerpo的回答：
f(x,y)=e^2x (x+y²+2y)
令
f'x=2e^2x (x+y²+2y)+e^2x=e^2x (2x+2y²+4y+1)=0
f'y=e^2x (2y+2)=0
得驻点(1/2，-1)
f''xx=2e^2x (2x+2y²+4y+1)+2e^2x=2e^2x (2x+2y²+4y+2)=A
f''xy=e^2x (4y+4)=B
f''yy=2e^2x=C
A=2e
B=0
C=2e
AC-B²=4e²＞0，且A＞0
所以(1/2，-1)为极小值点
z=e/2

z=–e/2。。。