Question

高数作业求帮忙4

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Answer 1

Γ为x²+y²+z²=a²与x+y+z=0的交线
从x正轴往x负轴看过去是逆时针的方向，即正向，取 +
∮_(Γ) y dx + z dy + x dz
= ∫∫_(Σ) rotA * n dS，<-- Stokes公式
= ∫∫_(Σ) - dydz - dzdx - dxdy
= - ∫∫_(Σ) dydz + dzdx + dxdy
取Σ为平面z = - x - y，z'x = z'y = - 1，取上侧
则在xOy面的投影为椭圆区域：x²+y²+(x+y)²=a²
这个椭圆面积很难算，是a²π/√3
= - ∫∫_(D) [ (1)(- z'x) + (1)(- z'y) + 1 ] dxdy
= - ∫∫_(D) [ (1)(1) + (1)(1) + 1 ] dxdy
= - 3∫∫_(D) dxdy
= - 3 * 椭圆D的面积
= - 3 * a²π/√3
= - √3πa²

Answer 2

选择C