Question

a，b，m，n是正整数，且a=3m+1,a=5n+2,a=7b+3,求a的最小值

a，b，m，n是正整数，且a=3m+1,a=5n+2,a=7b+3,求a的最小值

Answer 1

这道题属于解不定方程组的问题，它和“韩信点兵”的问题类似。
由a=5n+2，a=7b+3，得5n+2=7b+3，即5n-7b=1，所以n=(7b+1)/5=b+(2b+1)/5，
由于n是整数，所以(2b+1)/5也是整数，所以可设b=5t+2（其中t为整数，原则是要把分母5去掉，把b=5t+2代入(2b+1)/5，得到是2t+1），则n=b+(2b+1)/5=5t+2+2t+1=7t+3，
把n=7t+3代入5n-7b=1，得b=(5n-1)/7=(35t+14)/7=5t+2，
由a=3m+1，a=5n+2，得3m+1=5n+2，所以m=(5n+1)/3=[5(7t+3)+1]/3=(35t+16)/3=11t+(2t+16)/3，所以可求出b，m，n的值分别为：
b=5t+2，m=11t+(2t+16)/3，n=7t+3，我们发现m的值仍然有分母，所以要去分母，可设
t=3x+1（x属于整数，这时候把分母3去掉了），则b=5(3x+1)+2=15x+7，m=11(3x+1)+[2(3x+1)+16]/3=35x+17，n=7(3x+1)+3=31x+10，由于b，m，n是正整数，所以可求出x的范围是x>-1，且x是整数。所以x的最小值是0。
于是a=7b+3=7(15x+7)+3=105x+52，所以a的最小值是52，此时b=7，m=17，n=10。

Answer 2

先找3m+1和7b+3的情况，分析出a+11能被3和7整除，得到a=21p-11即a=21q+10
又由a=5n+2得到a除以5余2，则(21q+10)/5余2，即q除以5余2，又因为a尽量小，则取q=2，因此a=52

追问

谢谢，能否给出通项公式