如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD，BC=2AD，BC∥AD，AD⊥DC．（Ⅰ）证明AC⊥PB；（Ⅱ）求
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD，BC=2AD，BC∥AD，AD⊥DC．（Ⅰ）证明AC⊥PB；（Ⅱ）求二面角C-PB-A的大小．...
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD，BC=2AD，BC∥AD，AD⊥DC．（Ⅰ）证明AC⊥PB；（Ⅱ）求二面角C-PB-A的大小．
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方法一：（Ⅰ）证明：设PA=AD=CD=a，
∵AD⊥CD=0，BC=2AD
∴BC=2a
∵BC∥AD且BC⊥CD…（2分）
在Rt△ADC中，AC=
| 2 |
∴△ABC中，∠ACB=45°
由余弦定理AB=
| AC2+BC2-2cos∠ACB?BC?AC |
| 2 |
∴AB2+AC2=BC2
∴∠BAC=90°…（4分）
∵AB是斜线PB在面ABCD内的射影，AC⊥AB，AC⊥PA，PB∩PA=P
故AC⊥平面PAB
又∵PB?平面PAB
∴AC⊥PB
（Ⅱ）∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥CA
∵CA⊥AB PA∩PB=A
∴CA⊥面PAB
过点A作AE⊥PB于E，连接CE
则∠AEC即为二面角C-PB-A的平面角α…（9分）
在Rt△PAB中，PB=
| 3 |
∴AE=
| PA?PB |
| PB |
|
在Rt△AEC中，tanα=
| AC |
| AE |
| 3 |
∵0≤α≤π
∴α=
| π |
| 3 |
方法二：
（Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系D-xyz，
设PA=AD=CD=1
∵AD⊥DC，BC=2AD，BC∥AD
∴BC=2且BC⊥CD…（2分）
则A（1，0，0）B（2，1，0），C（0，1，0）P（1，0，1）
∴
| AC |
| PB |
∵
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