Question

已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积

已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．

Answer 1

设直角三角形的三边长分别为a，b，c（c是斜边）， 则a+b+c=60． ∵a≤b＜c，a+b+c=60， ∴60=a+b+c＜3c， ∴c＞20． ∵a+b＞c，a+b+c=60， ∴60=a+b+c＞2c， ∴c＜30． 又∵c为整数， ∴21≤c≤29． 根据勾股定理可得：a 2 +b 2 =c 2 ，把c=60-a-b代入， 化简得：ab-60（a+b）+1800=0， ∴（60-a）（60-b）=1800=2 3 ×3 2 ×5 2 ， ∵a，b均为整数且a≤b， ∴只可能是 60-a= 2 3 ×5 60-b= 3 2 ×5 或 60-a=2× 5 2 60-b= 2 2 × 3 2 解得 a=20 b=15 或 a=10 b=24. ， ∵三角形的外接圆的直径即为斜边长c， ∴当a=20，b=15时，c=25，三角形的外接圆的面积为 625 4 π ； 当a=10，b=24时，c=26，三角形的外接圆的面积为169π．