Question

如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC与大

如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC与大圆相交于D，OC平分∠ACB．（1）证明：直线BC是小圆的切线；（2）试证明：AC+AD=BC；（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆形成的圆环的面积．

Answer 1

（1）证明：作OE⊥BC于E；
∵CA是圆O的切线，
∴OA⊥CA，
∵CO平分∠ACB，
∴OE=OA，
∵A在小圆O上，
∴E也在小圆O上，
∴BC是小圆的切线．

（2）证明：连接OD，
∵AC、BC是小⊙O的切线，
∴AC=CE，
在直角△AOD与直角△EOB中，
∵

OA＝OE OD＝OB

，
∴Rt△AOD≌Rt△EOB（HL），得AD=BE，
∴BC=AD+AC．

（3）解：由（2）可得BE=AD=BC-AC=10-

BC2?AB2

=10-6=4cm，
S_圆环=S_大圆-S_小圆
=π（OB²-OE²）
=π?BE²
=16π（cm²）．

Answer 2

1）BC所在直线与小圆相切． 理由如下： 过圆心O作OE⊥BC，垂足为E； ∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O， ∴OA⊥AC； 又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC， ∴OE=OA， ∴BC所在直线是小圆的切线． （2）AC+AD=BC． 理由如下： 连接OD． ∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E， ∴CE=CA； ∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，OA=OE，OD=OB， ∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL）， ∴EB=AD； ∵BC=CE+EB， ∴BC=AC+AD． （3）∵∠BAC=90°，AB=8，BC=10， ∴AC=6； ∵BC=AC+AD， ∴AD=BC-AC=4， ∵圆环的面积为：S=πOD2-πOA2=π（OD2-OA2）， 又∵OD2-OA2=AD2， ∴S=42π=16π（cm2）．