Question

如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线

如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD-AH=AB；④DG=AP+GH．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④

Answer 1

①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线， ∴∠ABP= 1 2 ∠ABC， ∠CAP= 1 2 （90°+∠ABC）=45°+ 1 2 ∠ABC， 在△ABP中，∠APB=180°-∠BAP-∠ABP， =180°-（45°+ 1 2 ∠ABC+90°-∠ABC）- 1 2 ∠ABC， =180°-45°- 1 2 ∠ABC-90°+∠ABC- 1 2 ∠ABC， =45°，故本小题正确； ②③∵∠ACB=90°，PF⊥AD， ∴∠FDP+∠HAP=90°，∠AHP+∠HAP=90°， ∴∠AHP=∠FDP， ∵PF⊥AD， ∴∠APH=∠FPD=90°， 在△AHP与△FDP中， ∠AHP=∠FDP ∠APH=∠FPD=90° AP=PF ， ∴△AHP≌△FDP（AAS）， ∴DF=AH， ∵AD为∠BAC的外角平分线，∠PFD=∠HAP， ∴∠PAE+∠BAP=180°， 又∵∠PFD+∠BFP=180°， ∴∠PAE=∠PFD， ∵∠ABC的角平分线， ∴∠ABP=∠FBP， 在△ABP与△FBP中， ∠PAE=∠PFD ∠ABP=∠FBP PB=PB ， ∴△ABP≌△FBP（AAS）， ∴AB=BF，AP=PF故②小题正确； ∵BD=DF+BF， ∴BD=AH+AB， ∴BD-AH=AB，故③小题正确； ④∵PF⊥AD，∠ACB=90°， ∴AG⊥DH， ∵AP=PF，PF⊥AD， ∴∠PAF=45°， ∴∠ADG=∠DAG=45°， ∴DG=AG， ∵∠PAF=45°，AG⊥DH， ∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形， ∴DG=AG，GH=GF， ∴DG=GH+AF， ∵AF＞AP， ∴DG=AP+GH不成立，故本小题错误， 综上所述①②③正确． 故选A．