Question

已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二

已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）

Answer 1

证明：
∵正方形ABCD，
∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，
∵∠PAD=∠PDA=15°，
∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，
在正方形内做△DGC与△ADP全等，
∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°，
∴∠PDG=90°-15°-15°=60°，
∴△PDG为等边三角形（有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形），
∴DP=DG=PG，
∵∠DGC=180°-15°-15°=150°，
∴∠PGC=360°-150°-60°=150°=∠DGC，
在△DGC和△PGC中

DG＝PG ∠DGC＝∠PGC GC＝GC

，
∴△DGC≌△PGC，
∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°，
同理PB=AB=DC=PC，
∠PCB=90°-15°-15°=60°，
∴△PBC是正三角形．

Answer 2

已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°

求证：∆PBC是正三角形。

解：在∠DAP旁作∠D1AP

=∠DAP=15°，AD1=AD

在∆DAP和∆D1AP中

AD1=AD

∠D1AP=∠DAP

AD=AD

∴∆DAP≌∆D1AP(SAS)

∴AD=AD1，DP=D1P

∵正方形ABCD

∴AD=AB=DC，∠ABC=90°

∴AB=AD1

∵∠D1AP=∠DAP=15°

∴∠BAD1=60°

∴AB=AD1=BD1，∠ABD1=60°

∵∠PAD=∠PDA=15°

∴AP=DP,∠PAB=∠PDC

∴AP=D1P

又∵AB=BD1

∴BP垂直平分AD1

∴∠ABP=1/2∠ABD1=30°

∴∠PBC=60°

在∆BAP和∆CDP中

AB=DC

∠PAB=∠PDC

AP=DP

∴∆BAP≌∆CDP(SAS)

∴BP=CP

∴∆PBC是正三角形

Answer 3

证明：∵正方形ABCD，
∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，
∵∠PAD=∠PDA=15°，
∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，
在正方形内做△DGC与△ADP全等，
∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°，
∴∠PDG=90°-15°-15°=60°，∠DGC=180°-15°-15°=150°，
∴△PDG为等边，三角形，
∴DP=DG=PG，
∠PGC=360°-150°-60°=150°=∠DGC，
在△DGC△PGC中
，
∴△DGC≌△PGC，
∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°，
同理PB=AB=DC=PC，
∠PCB=90°-15°-15°=60°，
∴△PBC是正三角形．

Answer 4

证明：
∵正方形ABCD，
∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，
∵∠PAD=∠PDA=15°，
∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，
在正方形内做△DGC与△ADP全等，
∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°，

∴∠PDG=90°-15°-15°=60°，
∴△PDG为等边三角形（有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形），
∴DP=DG=PG，
∵∠DGC=180°-15°-15°=150°，
∴∠PGC=360°-150°-60°=150°=∠DGC，
在△DGC和△PGC中
DG＝PG
∠DGC＝∠PGC
GC＝GC
，
∴△DGC≌△PGC，
∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°，
同理PB=AB=DC=PC，
∠PCB=90°-15°-15°=60°，
∴△PBC是正三角形