Question

变态数学题高人求解

a和b为两个正数（two positive number a and b）
求证：（a2+b2）1/2>=(a3+b3)1/3
(根号a平方和b平方的的和大于或等于3次根号a立方和b立方的和)

Answer 1

原式可化为证 [立方根(a^3+b^3)]^6≤[平方根(a^2+b^2)]^6
(a^3+b^3)^2≤(a^2+b^2)^3
然后展开作差, 2*a^3*b^3-3*a^4*b^2-3*a^2*b^4≤0
即 2ab-3a^2-3b^2≤0
-3(a^2+b^2)+2ab≤0
又 a^2+b^2≥2ab
所以 -6ab+2ab=-4ab≤0
所以 立方根(a^3+b^3)≤平方根(a^2+b^2)

Answer 2

(a^2+b^2)^3-(a^3+b^3)^2
=a^6+3a^4b^2+3a^2b^4+b^6-(a^6+2a^3b^3+b^6)
=3a^4b^2+3a^2b^4-2a^3b^3
=a^2b^2(3a^2+3b^2-2ab)
因为a和b为两个正数
所以3a^2+3b^2-2ab>0
所以(a^2+b^2)^3-(a^3+b^3)^2>0
(a^2+b^2)^3>(a^3+b^3)^2
所以(a^2+b^2)^1/2>(a^3+b^3)^1/3

Answer 3

即只需要证明 （a^2+b^2)^3>=(a^3+b^3)^2
左边=a^6+b^6+3a^2b^4+3a^4b^3>=a^6+b^6+6a^3b^3>a^6+b^6+2a^3b^3=(a^3+b^3)^2

Answer 4

等价于(a2+b2) 3>=(a3+b3) 2
展开a6+3a4b2+3a2b4+b6>=a6+2a3b3+b6
消去相同的得3a4b2+3a2b4>=2a3b3
由均值不等式（算术平均大于等于几何平均）
3a4b2+3a2b4>=2*3a3b3>=2a3b3
显然成立