Question

定积分的题

积分
A=∫(0,π/2)sinx^n dx,分别求n=4,和n=5时，A的值？

注意，0是下限，π/2是上限，谢谢各位高手帮忙，因为基础差，写的详细点的话，那是最好了
∫（sinx)^ndx

Answer 1

详细解答，请参看下图，解答过程准确无误。

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Answer 2

这个完全可以用沃利斯公式
顺便给你推导一遍吧
设A(n)=∫(0,π/2)sinx^n dx
则由分步积分法
A(n)=∫(0,π/2)sinx^(n-1)*sinx dx=-cosx*sinx^n|(0,π/2)+∫(0,π/2)(n-1)sinx^(n-2)*cosx^2 dx
前面一项为0 后面一项cosx^2=1-sinx^2
则A(n)=∫(0,π/2)(n-1)sinx^(n-2)*(1-sinx^2) dx=(n-1)∫(0,π/2)sinx^(n-2)-(n-1)∫(0,π/2)sinx^n=(n-1)A(n-2)-(n-1)A(n)
则nAn=(n-1)A(n-2)
A(n)=A(n-2)*(n-1)/n
递推公式搞定
接下来求A(1)=∫(0,π/2)sinx dx=1
A(2)=∫(0,π/2)sinx^2 dx=∫(0,π/2)(1-cos2x)/2 dx=π/4
好了
A(4)=A(2)*3/4=3π/16
A(5)=A(3)*4/5=A(1)*2/3*4/5=8/15

Answer 3

是求∫（sinx)^ndx还是求∫sin(x^n)dx?