Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=a，E是A1C1的中点，F是AB中点．（1）求证：EF∥面

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=CC1=a，E是A1C1的中点，F是AB中点．（1）求证：EF∥面BB1C1C；（2）求直线EF与直线CC1所成角的正切值．

Answer 1

（1）取AC的中点G，连结EG，FG，
∵EG∥C₁C，C₁C?平面EFG，
∴C₁C∥平面EFG，
同理可证BC∥平面EFG，
又∵BC，C₁C?面BB₁C₁C，
∴平面EFG∥平面BB₁C₁C，
∴EF∥面BB₁C₁C．
（2）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴EG⊥面BB₁C₁C，
∵EG∥C₁C，
∴∠FEG为直线EF与C₁C所成的角，
∵△EFG为直角三角形，
∴tan∠EFG=

FG

EG

＝

1 2 a

a

＝

1

2

．