Question

因式分解：（1）x4+y4+z4-2x2y2-2y2z2-2x2z2（2）x7+x5+1（3）（x+y-2xy）（x+y-2）+（xy-1）2

因式分解：（1）x4+y4+z4-2x2y2-2y2z2-2x2z2（2）x7+x5+1（3）（x+y-2xy）（x+y-2）+（xy-1）2．

Answer 1

（1）x⁴+y⁴+z⁴-2x²y²-2y²z²-2x²z²
=x⁴-2x²y²+y⁴-2y²z²-2z²x²+z⁴
=（x²-y²）²-2z²（x²+y²）+z⁴
=（x²-y²）²-2z²（x²-y²）+z⁴-4x²y²
=（x²-y²-z²）²-4x²y²
=（x²-y²-z²-2yz）（x²-y²-z²+2yz）
=[x²-（y+z）²][x²-（y-z）²]
=（x+y+z）（x-y-z）（x+y-z）（x-y+z）；

（2）x⁷+x⁵+1
=x⁷+x⁶+x⁵-x⁶+1
=x⁵（x²+x+1）-（x³+1）（x³-1）
=（x²+x+1）[x⁵-（x-1）（x³+1）]
=（x²+x+1）（x⁵-x⁴+x³-x+1）；

（3）设x+y=a，xy=b，
则（x+y-2xy）（x+y-2）+（xy-1）²
=（a-2b）（a-2）+（b-1）²
=a²-2ab-2a+4b+b²-2b+1
=a²-2ab-2a+b²+2b+1
=a²-2ab+b²-2a+2b+1
=（a-b）²-2（a-b）+1
=（a-b-1）²
=（x+y-xy-1）²
=[（x-1）（1-y）]²．