Question

这道数学题该怎么做

Answer 1

两种方法
1,等式两边对x求导,由於y=f(x)是关於x的函数,所以求导的时候需要用复合函数的求导法则.

x²y=x²f(x),求导就是2xy+x²y'
∫[0→y]√(1+t²)dt,求导以後是√(1+y²)*y'(很简单的,令u=∫[0→y]√(1+t²)dt,我对x求导,就是求du/dx,那麼du/dx=du/dy*dy/dx=√(1+y²)*y'就出来了)
两个函数相等,它们的导函数也相等,所以有2xy+x²y'=√(1+y²)*y'
整理得dy/dx=y'=2xy/[√(1+y²)-x²]
∴dy=dx*2xy/[√(1+y²)-x²]
2,等式两边对y求导.把y看成自变量,x看成因变量,求f(x)反函数的导数.
同样的做法,得到等式2xyx'+x²=√(1+y²)
x'=[√(1+y²)-x²]/2xy=dx/dy
∴dy=dx/x'=dx*2xy/[√(1+y²)-x²]