Question

问常数a，b各取何值时方程组x1+x2+x3+x4=1;x2-x3+2x4=1; 2x1+3x2+(a+2)x3+4x4=b+3;3x1+5x2+x3+(a+8）x4=5

Answer 1

求方程组的系数行列式D=
1 1 1 1
0 1 -1 2
2 3 a+2 4
3 5 1 a+8,把第一行的-2，-3倍分别加到第三、四行后按第一列展开得
1 -1 2
1 a 2
2 -2 a+5,仿上，把第一行的-1，-2倍分别加到第二、三行后按第一列展开得
a+1 0
0 a+1=(a+1)^2,
当a≠-1时D≠0，方程组有唯一解。
当a=-1时研究方程组的增广矩阵：
1 1 1 1 1
0 1 -1 2 1
2 3 1 4 b+3
3 5 1 7 5,仿上，对行作初等变换：把第一行的-2，-3倍分别加到第三、四行得
1 1 1 1 1
0 1 -1 2 1
0 1 -1 2 b+1
0 2 -2 4 2,把第二行的-1，-1，-2倍分别加到第一、三、四行得
1 0 2 -1 0
0 1 -1 2 1
0 0 0 0 b
0 0 0 0 0，当b≠0时方程组无解；当b=0时有无穷多解：
(x1,x2,x3,x4)=(-2m+n,1+m-2n,m,n),m,n是任意数。