Question

如题：已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x），且在区间【0

如题：已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x-4）=-f（x），且在区间【0，2】上是增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间【-8，8】上有四个不相同的根x1，x2，x3，x4，求x1+x2+x3+x4=？~我要具体的求解过程

Answer 1

解;令x=t+2 代入f(x-4)=-f(x)得 f（t+2-4）=-f（t+2）
即f（t-2）=-f（t+2）
又f（x）是奇函数 f（t-2）= -f（2-t）
所以 - f（t+2）= - f（2-t） 即 f（2+t）=f（2-t） …………（1）式
即直线x=2是f（x）对称轴
对于定义域包含0的奇函数，显然有 f（0）=0
也可简单算得 f（-4）= -f（0）=0 , f（x）以8为周期: f（-8）=0
f（4）=0 ， f（8）=0
（画图说明） 先画[0,2]一段， 可以任意画一段 只要满足增函数即可 注意f（0）=0
再根据x=2是对称轴画[2,4]段
在根据f（x）是奇函数 图像关于原点对称 画[-4,0]那段
再根据x=2是对称轴 画[4,8]段 其和[0,-4]段关于x=2对称
最后根据原点对称画[-8,-4]段
画完后你会发现 要求f(x)=m(m>0) 的解 就是求y=m（m>0）与f（x）的交点
根据图你可以得到 共有四个交点 其中两个在区间（-8，-4）关于x=-6对称 另外两个在区间（0，4）关于x=2对称
所以x1+x2+x3+x4=2*（-6）+2*2=-8

参考以下:
f（x）为奇函数，f（0）=0，
f（x-4）=-f（x），f(4)=0,
f(x-8)=-f（x-4）=f（x），所以f（x）是周期为8的函数，f（8）=0。
在区间【0，2】上是增函数，那么在此区间f(x)>0，根据f（x-4）=-f（x），
在区间【4，8】f(x)<0。
f（x-4）=-f（x），f（x）为奇函数，那么f(x)=f(4-x).
f(x)=m在区间【-8，8】上有4个不同的根,设两个正根x1，4-x1，那么两个负根根据周期8为
x1-8，4-x1-8。则x1+x2+x3+x4=-8。

Answer 2

∵f（x-4）=-f（x）

∴f（x）=-f（x-4）
∴f（x+8）=-f（x+8-4）=-f（x+4）=f（x+4-4）=f（x）
∴函数f（x）的周期为8
∵f（x）是奇函数
∴-f（x）=f（-x）
∴f（x-4）=-f（x）=f（-x）
∴函数f（x）的对称轴为：x=-2
做出草图（这里不画了，类比正弦函数）可知：

x1+x2=2×（-6）=-12
x3+x4=2×2=4
∴x1+x2+x3+x4=-12+4=-8

Answer 3

图

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