Question

求解AB=0 r(A)+r(B)<=n的证明

求解AB=0 r(A)+r(B)<=n的证明画线处为什么AX=0的解要小于等于AX=0的无关解向量

Answer 1

AB=0 r(A)+r(B)<=n的证明如下：

这里与齐次线性方程的基础解系有关

AB=0，则说明B的列向量都是AX=0的解

因此B的列向量是AX=0解集的子集

则B列向量组的秩，不大于方程组AX=0的基础解系的个数，即n-r(A)

即r(B)<= n-r(A)

因此：r(A)+r(B)<=n

扩展资料：

关于秩和基础解系的文字说明：

基础解系是线性方程组所有解的最大无关组，

根据最大无关组的定义，任何一组解向量，都可以用基础解系线性表示。

所以，任何一组解向量(无论多少个)，它的秩都不大于基础解系中解向量的个数。

秩和基础解系的关系：

如果该行列式为一个n阶行列式，

那计算得到的基础解系的解向量为你的n减去秩的数量、

简单的说，得出来的解向量的个数为你的零行数，

而你的非零行的函数是所求的秩。

参考资料来源：百度百科-矩阵的秩

Answer 2

由AB=0,得知B的列向量，都是方程组AX=0的解,因为B的所有列向量都可以由一共n-rA个方程组的基础解系线性表示，基础解系间线性无关则B列向量组的秩，不大于方程组AX=0的基础解系的个数，即n-r(A),即r(B)<= n-r(A),因此r(A)+r(B)<=n

Answer 3

考虑两个线性空间：
(1) B的列空间，即B的各列向量张成的线性空间。它的维数即是B的列秩，等于B的秩，即r(B)。
(2) Ax=0的解空间，即Ax=0的所有解组成的线性空间。由基本定理，它的维数=n-r(A)。
现在有AB=0，所以B的各列向量均是Ax=0的解。这说明(1)是(2)的子空间，所以(1)的维数<=(2)的维数。得r(B)<=n-r(A)，即r(A)+r(B)<=n。

这个结论也可以看成Sylvester秩不等式的特例：
对任意m*n矩阵A，n*s矩阵B，有r(A)+r(B)<=r(AB)+n。

Answer 4

基础解系是线性方程组所有解的最大无关组，
根据最大无关组的定义，
任何一组解向量，
都可以用基础解系线性表示。
所以，任何一组解向量(无论多少个)，
它的秩都不大于基础解系中解向量的个数。

Answer 5

ab均为n阶矩阵，ab=0，b是ax=0的解空间，包含n-r（a）个非0解向量。所以r（b）=n-r（a）。
故：r（a）+r（b）＜＝n。（当且仅当a=b为零矩阵的时候，小于n）