Question

线性代数关于证明r（ab）小于等于min（r（a），r（b））的问题

线性代数关于证明r（ab）小于等于min（r（a），r（b））的问题如图所示的这种方法，请问最后一步“另一方面”，是用了什么性质？为什么要特别转置一下？r（btat）小于等于r（at）又是用了哪个性质？乘积的秩小于等于个别不是要证明的题目吗。还请大神给出解答

Answer 1

证明如下：

（1）AB中的行向量是A中行向量的线性组合，同时也是A中行向量的极大无关组的线性组合

（2）如果把AB中的所有行向量与A中的极大无关组写成一个n维向量，那么这个极大无关组也是这个n维向量的极大无关组

（3）AB的极大无关组应该小于或者等于A中行向量的极大无关组所包含的向量数量，而极大无关组中向量的数量就是原向量组的秩

（4）B同理可证，结果就是R(AB)≤min{R(A),R(B)}

扩展资料

变化规律

(1)转置后秩不变

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A+B)<=r(A)+r(B)

Answer 2

前面已经证明的结果是一般的结论：两个矩阵乘积的秩小于等于右边矩阵的秩。r（BTAT）小于等于r（AT）就是用了这个结论。取转置就是为了把A从左边改到右边以便应用前面的结论。

Answer 3

看这句话的前面一句，已经证明出来了r（AB）≤r（B），所以用了这个的结论：也就是r（BtAt）≤r（At）

Answer 4

矩阵前或后乘一个可逆阵 秩不变

Answer 5

纠正以下这个学长的说法：错误的！（1）AB中的行向量是A中行向量的线性组合，同时也是A中行向量的极大无关组的线性组合
AB中列向量是A中列向量的线性组合
AB中行向量是B中行向量的线性组合