Question

高中数学参数方程

Answer 1

解：过点A(1,0)的斜率为k的直线l的参数方程为：x=1+ty=kt直线l与抛物线y²=8x交于点M(x1,y1),N(x2,y2)，则有(kt)²=8(1+t)k²t²-8t-8=0所以有t1+t2=8/k²t1t2=-8/k²于是MN的中点P(x,y)满足x=(x1+x2)/2=(1+t1+1+t2)/2=(2+8/k²)/2=1+4/k²y=(y1+y2)/2=(kt1+kt2)/2=k*8/k²/2=4/k所以有x=1+4/k²=1+(2/k)²=1+(y/2)²，也即y²=4(x-1)需要注意的是，由于k值有限，所以过点A(1,0)的直线x=1并不在参数方程表达的范围内，而此时中点显然是(1,0)，经检验也满足上述关系式。所以，MN的中点轨迹方程就是抛物线y²=4(x-1)。