Question

数学难题！！！！

如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论。
（2）若PA:PB:PC=3:4:5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明原因。

Answer 1

（1）猜想：AP＝CQ．证明如下：
在△ABP与△CBQ中，∵AB＝CB，BP＝BQ，∠ABC＝∠PBQ＝60°，所以△BCQ可以看作是△BAP绕点B顺时针旋转60°而得到的．∴AP＝CQ．
（2）由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，可设PA＝3a，PB=4a，PC=5a．
连接PQ，在△PBQ中，由于PB＝BQ＝4a，且∠PBQ＝60°．
∴△PBQ为正三角形．∴PQ＝4a．
于是在△PQC中，∵PQ2＋QC2＝16a2+9a2=25a2=PC2．
∴△PQC是直角三角形，∠PQC=90°．