Question

数学题（极限）

Answer 1

用泰勒公式展开， (1+x(cosx))^0.5 = 1 +1/2*x*cosx -1/8*x方*cosx方+ 1/16*x^3*cosx^3+0(x^3) , 1/8*x方*cosx方
(1+sinx)^0.5 = 1+0.5*sinx-0.125*sinx方+1/16*sinx^3 + 0(x^3);
原式= 1 +1/2*x*cosx -1/8*x方*cosx方+ 1/16*x^3*cosx^3+0(x^3) -（1+0.5*sinx-0.125*sinx方+1/16*sinx^3 + 0(x^3)） =1/2*x*cosx - 1/8*x方*cosx方+1/16*x^3*cosx^3-0.5*sinx + 0.125*sinx方-1/16*sinx^3 +0（x^3）;
因为 分子分母都是无穷小量， 所以可以用罗密达法则，对分子分母求导
f'(x) = {0.5*cosx -0.5*x*sinx - 0.25x*cosx方+1/8*x方*sinx-0.5cosx+0.25*sinx*cosx-3/16*sinx方*cosx} / (3x方) ={ -0.5x*sinx -0.25x+0.25x*sinx方 + 1/8*x方*sinx+1+1/8*sin(2x) - 3/16*sinx方*cosx }/3x方 = 最后化简一下，应该可以得到结果

Answer 2

用等价无穷小替换，
(1+x)^a ~ 1+ax，
cosx ~ 1-x^2/2，
sinx ~ x - x^3/6，
代入原式，得 - 1/6 。

Answer 3

无非就是泰勒公式嘛

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