Question

如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，

如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：连接AC，如图 ∵C是弧BD的中点 ∴∠BDC=∠DBC（1分） 又∵∠BDC=∠BAC 在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB ∴∠BCE=∠BAC ∠BCE=∠DBC（3分） ∴CF=BF；（4分） （2）解法一：作CG⊥AD于点G， ∵C是弧BD的中点 ∴∠CAG=∠BAC， 即AC是∠BAD的角平分线．（5分） ∴CE=CG，AE=AG（6分） 在Rt△BCE与Rt△DCG中， CE=CG，CB=CD ∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL） ∴BE=DG（7分） ∴AE=AB-BE=AG=AD+DG 即6-BE=2+DG ∴2BE=4，即BE=2（8分） 又∵△BCE ∽ △BAC ∴BC 2 =BE?AB=12（9分） BC=±2 3 （舍去负值） ∴BC=2 3 ．（10分） 解法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB ∴∠BEF=∠ADB=90°，（5分 在Rt△ADB与Rt△FEB中， ∵∠ABD=∠FBE ∴△ADB ∽ △FEB， 则 AD EF = AB BF ，即 2 EF = 6 BF ， ∴BF=3EF（6分） 又∵BF=CF， ∴CF=3EF 利用勾股定理得： BE= BF 2 - EF 2 =2 2 EF （7分） 又∵△EBC ∽ △ECA 则 CE AE = BE CE ， 则CE 2 =AE?BE（8分） ∴（CF+EF） 2 =（6-BE）?BE 即（3EF+EF） 2 =（6-2 2 EF）?2 2 EF ∴EF= 2 2 （9分） ∴BC= BE 2 + CE 2 =2 3 ．（10分）

Answer 2

如图：只需要证明是等腰三角形就可以了。

延长CE，由垂直弦的直径平分弦和它的弧，很容易证明三段弧相等，所对的圆周角相等。

（2）CO⊥BD、AD⊥BD，很容易计算各线段，BC=2√3

Answer 3

（1）提示：延长CE交元O于G，则：BC=BG，而BC=BC
所以：DC=BG
所以：角DBC=∠GCB
所以：BF=CF
(2)有时间在告诉你吧。

Answer 4

Answer 5