Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）-1，且当0＜

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）-1，且当0＜x＜1时，都有f（x）＞1成立．（1）判断并证明f（x）在定义域（0，+∞）上的单调性；（2）若f（9）=7，解不等式：f（x 2 +2x）＞4

Answer 1

（1）函数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数．证明如下：      设0＜x 1 ＜x 2 ，则 0＜ x 1 x 2 ＜1，于是有： f( x 1 x 2 ) ＞1       f（x 1 ）= f( x 2 ? x 1 x 2 ) =f（x 2 ）+ f( x 1 x 2 ) -1＞f（x 2 ）+1-1=f（x 2 ）       即：f（x 1 ）＞f（x 2 ）．       由函数的单调性定义可知：函数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数． （2）由已知，f（3×3）=f（3）+f（3）-1=7，即得：f（3）=4，因此有      f（x 2 +2x）＞4=f（3），又有（1）的结论以及函数f（x）的定义域为（0，+∞），得不等式组：      x 2 +2x＞0 3＞0 x 2 +2x ＜3 ，解得：-3＜x＜-2或0＜x＜1 所以：（1）数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数           （2）不等式f（x 2 +2x）＞4的解集为：{x|-3＜x＜-2或0＜x＜1}