Question

在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，

在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和， （Ⅰ）求点P的轨迹C； （Ⅱ）设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。

Answer 1

解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y）， 则 ， 由题设当x＞2时， 由①得 ， 化简得 ； 当x≤2时，由①得 ， 化简得 ； 故点P的轨迹C是椭圆 在直线x=2的右侧部分 与抛物线 在直线x=2的左侧部分 （包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1；
（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与 的 交点都是 ， 直线AF，BF的斜率分别为 ， 当点P在C 1 上时，由②知 ，④ 当点P在C 2 上时，由③知|PF|=3+x，⑤ 若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为y=k（x-3）， （1）当k≤ 时， 直线l与轨迹C的两个交点 都在C 1 上， 此时由④知 ， 从而∣MN∣=∣MF∣+∣NF∣ = ， 由 得 ， 则 是这个方程的两根， 所以 * ∣MN∣= ， 因为当 ， ， 当且仅当 时，等号成立。 （2）当 时， 直线l与轨迹C的两个交点 分别在 上， 不妨设点M在C 1 上，点C 2 上， 则④⑤知， ， 设直线AF与椭圆C 1 的另一交点为E ， ， 所以 ， 而点A，E都在C 1 上，且 ， 有（1）知 ， 若直线l的斜率不存在，则 =3， 此时， ； 综上所述，线段MN长度的最大值为 。