Question

（2014?上海模拟）如图，在△ABC中，D是边AC上一点，联结BD，给出下列条件：①∠ABD=∠ACB；②AB2=AD?AC

（2014?上海模拟）如图，在△ABC中，D是边AC上一点，联结BD，给出下列条件：①∠ABD=∠ACB；②AB2=AD?AC；③AD?BC=AB?BD；④AB?BC=AC?BD．其中单独能够判定△ABD∽△ACB的个数是（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

Answer 1

解：①∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB；
②∵AB²=AD?AC
∴

AB

AC

=

AD

AB

，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB；
③过点B作BE⊥AC，垂足为点E，过点D作DF⊥AB，垂足为点F．
在Rt△AEB和Rt△AFD中，∵sin∠BAE=sin∠DAF，
∴

BE

AB

=

DF

AD

，即

AD

AB

=

DF

BE

．
又∵AD?BC=AB?BD
∴

AD

AB

=

DB

BC

，
于是

DF

BE

=

BD

BC

．
∴Rt△BDF∽Rt△CBE．
∴∠ABD=∠C．
∴△ABD∽△ACB．
④∵AB?BC=AC?BD，
∴

AB

AC

=

BD

BC

，
∴无法得出△ABD∽△ACB；
故选：C．