Question

在公差不为零的等差数列{an}中，a1=1，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=

在公差不为零的等差数列{an}中，a1=1，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=（-1）n-1an2，求数列{bn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）设数列{a_n}的公差为d（d≠0），则(a1+4d)2＝(a1+d)(a1+13d)，
又a₁=1，∴d²-2d=0，
∵d≠0，∴d=2，
故a_n=2n-1；
（2）由b_n=（-1）^n-1a_n²=（-1）^n-1（2n-1）²知，Sn＝12?32+52?72+…+（-1）^n-1（2n-1）²，
①当n=2k（k∈N*）时，Sn＝(12?32)+(52?72)+…+[（4k-3）²-（4k-1）²]
=-2[4+12+20+…+（8k-4）]=-8k²=-2n²；
②当n=2k-1（k∈N*）时，Sn＝(12?32)+(52?72)+…+[（4k-3）²-（4k-1）²]
+（4k-1）²=-8k²+（4k-1）²=-2（n+1）²+[2（n+1）-1]²=2n²-1；
综上所述Sn＝

2n2?1，n为奇数 ?2n2，n为偶数

（n∈N*）．