Question

已知正项数列{an}的前n项和Sn满足：4Sn=(an+1)2，n∈N*，（Ⅰ）求数列{an}的通项an和前n项和Sn；（Ⅱ）求

已知正项数列{an}的前n项和Sn满足：4Sn=(an+1)2，n∈N*，（Ⅰ）求数列{an}的通项an和前n项和Sn；（Ⅱ）求数列{1anan+1}的前n项和Tn；（Ⅲ）证明：不等式13≤Tn＜12对任意的n∈N*都成立．

Answer 1

（1）由 sn＝

sn?1

2sn?1+1

(n≥2)，a1＝2，两边取倒数得

1

Sn

＝

1

Sn?1

+2，即

1

Sn

?

1

Sn?1

＝2．
∴{

1

sn

}是首项为

1

S1

＝

1

a1

＝

1

2

，2为公差的等差数列；
（2）由（1）可得：

1

Sn

＝

1

2

+(n?1)×2=

4n?3

2

，∴Sn＝

2

4n?3

．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

2

4n?3

?

2

4(n?1)?3

=

?8

(4n?3)(4n?7)

．
∴an＝

2，n＝1 ?8 (4n?3)(4n?7) ，n≥2

．