Question

已知abcd满足a+b=c+d,a^3+b^3=c^3+d^3,求证:a^2007+b^2007=c^2007+d^2007

别用归纳法
谢谢，过程详细些，快一点，急用

Answer 1

因a+b=c+d.结合a³+b³=c³+d³.===>(a+b)(a²-ab+b²)=(c+d)(c²-cd+d²)==>(a+b)[(a+b)²-3ab]=(c+d)[(c+d)²-3cd].===>(a+b)³-3ab(a+b)=(c+d)³-3cd(c+d).===>-3ab(a+b)=-3cd(c+d)=-3cd(a+b).===>(a+b)(ab-cd)=0.(一）当a+b=0时，a.b是互为相反数，其奇次方也是互为相反数，故a^2007+b^2007=0,同理，c^2007+d^2007=0.故所证的式子成立。(二）若a+b=c+d≠0,则必有ab-cd=0.===>ab=cd.可设a+b=c+d=t.(t≠0)==>b=t-a,d=t-c.===>ab=a(t-a)=cd=c(t-c).===>ta-a²=tc-c²===>(a-c)[t-(a+c)]=0.(1)若a-c=0.===>a=c,此时，b=d.显然此时所证式子成立。（2）若a-c≠0,则必有t-（a+c)=0.===>t=a+c.又由所设t=a+b.===>a+c=a+b.===>b=c.故a=d.显然，此时所证的式子成立。综上可知，原式子成立。