Question

20题求解

Answer 1

解：设所求点的坐标为M(xo，yo)，0<xo<2，0<yo<1；M在椭圆上，即xo²/4+yo²=1；
对椭圆取导数得：x/2+2yy'=0，故y'o=-xo/(4yo)；
那么过M的法线的斜率k=4yo/xo; ∴法线方程为：y=(4yo/xo)(x-xo)+yo=(4yo/xo)x-3yo;
化为一般式就是：(4yo/xo)x-y-3yo=0；原点(0,0）到法线的距离h=∣-3yo∣/√(1+16yo²/xo²)
=3xoyo/√[xo²+4(4-xo²)]=3xoyo/√(16-3xo²)【将yo²=1-xo²/4代入化简】
=(3/2)xo√(4-xo²)/√(16-3xo²);取对数得lnh=ln(3/2)+lnxo+(1/2)ln(4-xo²)-(1/2)ln(16-3xo²)
两边对xo取导数，并令：h'/h=(1/xo)-xo/(4-xo²)-3xo/(16-3xo²)=0
用xo除两边得：1/xo²-1/(4-xo²)-3/(16-3xo²)=0；即有1/(4-xo²)+3/(16-3xo²)=1/xo²;
再经过一下繁琐的代数运算，解得：xo=[(-2√2)+√104]/6=(-√2+√26)/3≈1.2;
此时y0=[√(2+√13)]/3≈0.8; 即M(1.2, 0.8)；【过程略】

Answer 2