Question

求下列极限 lim（n→∞）∑(上n 下i=1) sin π/(√(n^2+i))

Answer 1

当n→∞时，π/(√(n^2+i))→0。又x→0时，sinx→x。所以：上式的极限可写为：
I=lim（n→∞）∑(上n 下i=1) sin[π/(√(n^2+i))]
=lim（n→∞）∑(上n 下i=1) [π/(√(n^2+i))]
=lim（n→∞）∑(上n 下i=1) [π/(√(1+i/n^2))](1/n)
令x=i/n,dx=1/n,上面求和式的极限可转化为下列积分：
I=(上限1 下限0), π∫[1/√(1+x/n)]dx, lim（n→∞）
=(上限1 下限0), [2nπ√(1+x/n)],lim（n→∞）
=lim（n→∞), 2nπ[√(1+1/n)-1]
=lim（n→∞), 2π[√(1+1/n)-1]/(1/n)
=lim（n→∞), 2π[(1+1/n)-1]/[(1/n)(√(1+1/n)+1)]
=lim（n→∞), 2π(1/n)/(2/n)
=π

Answer 2

极限是π