Question

对((1-2u-u^2)/(u^3+u^2+u+1))的不定积分

Answer 1

解：
∫[(1-2u-u²)/(u³+u²+u+1)]du
=∫(1-2u-u²)/[1·(u⁴-1)/(u-1)] du
=∫[(u-1)(1-2u-u²)/(u⁴-1)]du
=∫-[(u²+1)+u(u²-1)]/[(u²+1)(u²-1)]du
=∫[-1/(u²-1) -u/(u²+1)]du
=½∫[1/(u+1)-1/(u-1)- 2u/(u²+1)]du
=½[ln|u+1|-ln|u-1|-ln|u²+1|] +C
=½ln|(u+1)/(u-1)(u²+1)| +C
=½ln|(u+1)/(u³-u²+u-1)| +C

解题思路：
1、首先将复杂的复合函数化简为若干个简单的复合函数的形式，再进行积分。
2、本题中，将被积对象进行变形，得到三个简单的复合函数的形式：1/(u+1)、1/(u-1)、2u/(u²+1)，从而将问题转化为分别求三个简单复合函数的积分。

Answer 2

u³+u²+u+1=u²（u+1）+u+1=（u²+1）（u+1）
（1-2u-u²）/（u²+1）（u+1）=（1+u²-2u-2u²）/（u²+1）（u+1）
=1/(u+1) -2u/(u²+1)
原式=∫1/(u+1)-2u/(u²+1)du=∫1/(u+1)du-∫2u/(u²+1)du
=ln（u+1）-ln（u²+1）
=ln（（u+1）/(u²+1)）