数学题求过程
LZ您好,这一题是基本的双曲线性质应用计算.
(1)解:
根据题意
lPAl-lPBl=1X4=4,为定值
根据双曲线定义,假设只知道P点出发的地震波,到达B点的时间比A点晚1分钟,那么符合条件的P点轨迹是双曲线的一支
故
以AB中点为坐标原点,正东为x轴,正北为y轴建立平面直角坐标系.
那么A(3,0),B(-3,0)
C在B北偏西30度,4km位置,C(-5,2根号3)
双曲线设为x^2/a^2 -y^2/b^2=1 (x>0,a>0,b>0)
AB是这个双曲线的焦点,c=3
2a=lPAl-lPBl=4 a=2
b^2=c^2-a^2=5
所以双曲线P方程是
x^2/4 -y^2/5 =1
与此同时,P到BC距离相等,那么在其它条件不明的情况下,P'(x,y)轨迹是BC线段的中垂线
BC中点R(-4,根号3)
K(BC)=-根号3
K(L)*K(BC)=-1
K(L)=根号3/3
所以L:y=根号3/3 x+b
将R点代入b=(7根号3/3)x
所以y=根号3/3 x+7根号3/3
将直线代入双曲线
5x^2 - 4y^2=20
5x^2 -4(x^2/3 +14x/3 + 49/3)=20
11x^2 -56x-256=0
x=8,舍弃负根那个解
故P(8,5根号3) -----(***)
lPAl=10
注解:***位置求P点坐标也可用线段距离公式l1-k^2llx2-x1l,联立双曲线来解.
(2)设lPQl=h
根据题意
lQBl=根号(lPBl^2+h^2)
lQAl=根号(lPAl^2+h^2)
lQBl-lQAl=根号(lPBl^2+h^2) - 根号(lPAl^2+h^2) [这里看不出什么,那么分子有理化!]
=(lPBl^2-lPAl^2)/[根号(lPBl^2+h^2) + 根号(lPAl^2+h^2)]
=(lPBl-lPAl)(lPBl+lPAl)/[根号(lPBl^2+h^2) + 根号(lPAl^2+h^2)]
由于lPBl< 根号(lPBl^2+h^2)
lPAl<根号(lPAl^2+h^2)
所以原式<lPBl-lPAl
故时间差变小
