Question

在三角形ABC 求证： sinA/(sinB+sinC)+sinB/(sinA+sinC)+sinC（sinA+sinB）<2

自己设计一道类似于上提的不等式证明，并写出证明过程

Answer 1

证明：设sinA/a=sinB/b=sinC/c=k,则sinA=ak,sinB=bk,sinC=ck, sinA/(sinB+sinC)+sinB/(sinA+sinC)+sinC（sinA+sinB）=a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b）=[a(a+c)(a+b)+b(b+c)(a+b)+c(b+c)(a+c)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]=[aaa+bbb+ccc+3abc+aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)]/[2abc+aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)],因为a＜b+c,b＜a+c,c＜a+b,所以[aaa+bbb+ccc+3abc+aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)]/[2abc+aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)]＜{3abc+2[aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)]}/[2abc+aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)]＜{4abc+2[aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)]}/[2abc+aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)]
=2{2abc+[aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)]}/[2abc+aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)]=2，即a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)＜2。
（aa表示a的平方，aaa表示a的三次方。猜想a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b）≥3/2)