Question

一阶微分方程，x取范围，正负号的讨论，问题如下图所示。

为什么答案的x没有加绝对值？
（y+ x^3）dx -2xdy=0，满足x=1时，y=6/5，答案是y=1/5 *x^3 +x^(1/2)

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Answer 1

求微分方程 (y+x²)dx-2xdy=0的通解

解：P=y+x²；∂P/∂y=1；Q=-2x，∂Q/∂x=-2；

∵(1/Q)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(-1/2x)(1+2)=-3/(2x)=p(x)是x的函数，因此有积分因子μ：

μ=e^∫p(x)dx=e^∫[-3/(2x)]dx=e^[-(3/2)lnx]=x^(-3/2);

用μ=x^(-3/2);乘原方程的两边得：(y+x²)x^(-3/2)dx-2x^(-1/2)dy=0...........①

此时P=(y+x²)x^(-3/2)，∂P/∂y=x^(-3/2)；Q=-2x^(-1/2)；∂Q/∂x=x^(3/2);

∴①是全微分方程，其通解：u(x，y):

追问

μ=e^∫p(x)dx=e^∫[-3/(2x)]dx=e^[-(3/2)lnx]=x^(-3/2);请问这步中的lnx为什么不带绝对值？

追答

∫dx/x=lnx+c，适用于x>0；
∫dx/x=ln∣x∣+c，适用于x>0，也适用于x<0；
要不要加绝对值符号，看需要，并不是什么时候都要加。
在上面的运算中，很快就知道式子中有(√x)，x不可内取负值，故不考虑x<0的情况，∴不加。

追问

可是要是根号里有x的加上-号不就行了，所以...

可是要是根号里有x的加上-号不就行了，所以...

追答

因为式子里有√x，因此该式子的定义域就一定是x≧0；
也就是说x不可能取负值，因此就没必要加绝对值符号。
你好像有个观念：∫(1/x)dx一定要写成ln∣x∣，写成lnx
就不对。不是的，给你说了，要不要加绝对值符号，主
动权掌握在你自己手里，没有规定一定要加，当然也没
有规定一定不加。全看问题的需要。

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示

Answer 3

追问

请问这步x的绝对值是如何去掉的？

Answer 4

（y+ x^3）dx -2xdy=0，
∴dy/dx=y/(2x)+x^2/2.①
由dy/dx=y/(2x)得dy/y=dx/(2x),
积分得lny=(1/2)lnx+lnc,
y=c√x,
设y=c(x)*√x,则dy/dx=c'(x)*√x+c(x)/(2√x),
代入①得c'(x)=x^(3/2)/2,
∴c(x)=x^(5/2)/5+c,y=[x^(5/2)+c]√x,
x=1时，y=6/5，
∴6/5=1+c,c=1/5,
∴y=(1/5)x^3 +x^(1/2).

追问

请问“由dy/dx=y/(2x)得dy/y=dx/(2x)”是如何得到的？