Question

已知a，b属于R+，求证a^ab^b>=(ab)^((a+b)/2)>=a^bb^a

a^ab^b表示a的a次方乘以b的b次方 下同

Answer 1

先证：a^ab^b>=(ab)^((a+b)/2)
a^ab^b/(ab)^((a+b)/2)
＝a^(a-a+b/2)b^(b-a+b/2)
=a^(a-b)/2·b^(b-a)/2
＝（a/b)^(a-b)/2（*)
（1）a>b>0时，a/b>1,(a-b)/2>0，故（*)>1
（2）a=b>0时，(*)=1
（3）b>a>0时，0<a/b<1,(a-b)/2<0，故（*)>1
综上，a^ab^b>=(ab)^((a+b)/2
另一个不等式仿此可证。

遇到幂的形式要比较大小，通常采用作商法。