Question

若级数皆收敛，且an≤cn≤bn（n=1，2，…)，则也收敛．若发散，试问级数的收敛性如何

若级数皆收敛，且an≤cn≤bn（n=1，2，…)，则也收敛．若发散，试问级数的收敛性如何第四题

Answer 1

∑an与∑bn都收敛时，因为0≤cn-an≤bn-an，∑(bn-an)收敛，所以由比较法，∑(cn-an)收敛。又∑an收敛，所以∑cn收敛。

∑an与∑bn都发散时，∑cn可能收敛也可能发散。比如an＝1-1/n，bn＝1，cn＝1+1/n，an,bn,cn的极限都是1，所以∑an,∑bn,∑cn都发散。再比如an＝-1/n，bn＝0，cn＝1/n，∑an,∑bn都发散，但是∑cn收敛。

函数收敛

定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

Answer 2

∑an与∑bn都收敛时，因为0≤cn-an≤bn-an，∑(bn-an)收敛，所以由比较法，∑(cn-an)收敛。又∑an收敛，所以∑cn收敛。
∑an与∑bn都发散时，∑cn可能收敛也可能发散。比如an＝1-1/n，bn＝1，cn＝1+1/n，an,bn,cn的极限都是1，所以∑an,∑bn,∑cn都发散。再比如an＝-1/n，bn＝0，cn＝1/n，∑an,∑bn都发散，但是∑cn收敛。

Answer 3

收敛的，详情如图所示

Answer 4

a_n=-1/n,b_n=1/n，c_n=0,a_n,b_n发散，而c_n收敛。

Answer 5

可能收敛，也可能发散

追问

推导过程嘞