Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c及一次函数g（x）=-bx. (I)若a＞b＞c,a+b+c=0。设f(x)、g（x）两图像交

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c及一次函数g（x）=-bx.
（Ⅰ）若a＞b＞c,a+b+c=0。设f(x)、g（x）两图像交于A、B两点，当线段AB在x轴上的射影为A1B1时，试求|A1B1|的取值范围
（Ⅱ）对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式f（x），使f（x）=0有两个小于1的不等的正根，求a的最小值。

Answer 1

设A、B两点的横坐标为x1,x2，则|A1B1|=|x1-x2|
将y=-bx代入y=ax^2+bx+c，可得
ax^2+2bx+c=0，x1和x2是该方程式的两个实数根
根据韦达定理有
x1+x2=-2b/a
x1*x2=c/a
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4（b^2-ac)/a^2
又因为a+b+c=0，所以b=-(a+c)
故(x1-x2)^2=4（b^2-ac)/a^2=4(1+c/a+c^2/a^2)=4(1/2+c/a)^2+3
又-2<c/a<-1/2
3<(x1-x2)^2<12
√3<|x1-x2|<2√3
即|A1B1|∈（√3，2√3）

设x1、x2为f(x)=0的两个正根，0＜x1＜1，0＜x2＜1，且x1≠x2，
则可以设f(x)=a(x-x1)(x-x2)a∈N．
依题意有
f(0)＞0，f(1)＞0，
又f(x)=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2为整系数二次三项式，
所以f(0)=ax1x2、f(1)=a*(1-x1)(1-x2)为正整数
故f(0)≥1，f(1)≥1
故f(0)*f(1)≥1 ①
f(0)*f(1)
=ax1x2*a*(1-x1)(1-x2)
=a^2*x1*(1-x1)*x2*(1-x2)
<a^2*[x1/2+(1-x1)/2]^2*[x2/2+(1-x2)/2]^2=a^2/16（因为x1≠x2，所以无法取等号）
所以a^2/16>1
解得a>4，所以a的最小值为5

Answer 2

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