Question

求∫dx/(x的四次方×√x²+1)的积分

Answer 1

-(1/3)(1+x²)^(3/2)/x³ + √(1+x²)/x + C

解题过程如下：

令x=tanu,则dx=sec²udu,(1+x^2)^(1/2)=secu

原式=∫ sec²u/[(tanu)^4secu] du

=∫ sec²u/[(tanu)^4secu] du

=∫ secu/(tanu)^4 du

=∫ cos³u/(sinu)^4 du

=∫ cos²u/(sinu)^4 d(sinu)

=∫ (1-sin²u)/(sinu)^4 d(sinu)

=∫ 1/(sinu)^4 d(sinu) - ∫ 1/sin²u d(sinu)

=-(1/3)(sinu)^(-3) + 1/sinu + C sinu=x/√(1+x²)

=-(1/3)(1+x²)^(3/2)/x³ + √(1+x²)/x + C

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

扩展资料

定理

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。

Answer 2

令x=tanu,则dx=sec²udu,(1+x^2)^(1/2)=secu
原式=∫ sec²u/[(tanu)^4secu] du
=∫ sec²u/[(tanu)^4secu] du
=∫ secu/(tanu)^4 du
=∫ cos³u/(sinu)^4 du
=∫ cos²u/(sinu)^4 d(sinu)
=∫ (1-sin²u)/(sinu)^4 d(sinu)
=∫ 1/(sinu)^4 d(sinu) - ∫ 1/sin²u d(sinu)
=-(1/3)(sinu)^(-3) + 1/sinu + C sinu=x/√(1+x²)
=-(1/3)(1+x²)^(3/2)/x³ + √(1+x²)/x + C