Question

给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点，过点F的直线l与C交于A,B两点，O为坐标原点.1.设l的

给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点，过点F的直线l与C交于A,B两点，O为坐标原点.1.设l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；2.见下图

Answer 1

解:(1)因A、B在y^2=4x上 设A(m^2,2m),B(n^2,2n) (m≠n)

则AB的方程是: 2x-(m+n)y+2mn=0
由它过焦点F(1,0) 得 mn=-1 (1)

又它的斜率 2/(m+n)=1 得 m+n=2 (2)
m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=6

以AB为直径的圆的方程是
(x-m^2)(x-n^2)+(y-2m)(y-2n)=0
x^2-(m^2+n^2)x+(mn)^2+y^2-2(m+n)y+4mn=0

所求圆方程是: x^2+y^2-6x-4y-3=0

(2) 由(1) l方程 2x-(m+n)y+2mn=0
mn=-1
又由|FA|=2|FB| 得 2m=-2(2n)
即 m+2n=0
解得 n=(√2)/2 或n=-(√2)/2
m+n=(m+2n)-n=-(√2)/2 或m+n=(√2)/2

所以 l的方程是 (2√2)x+y-2√2=0或 (2√2)x-y-2√2=0

希望对你有点帮助！

Answer 2

（1）由题意得，F（1，0）
∵l的斜率为1
∴设l：y=x+b过F（1,0）
则b=-1，l：y=x-1
∴A(3-2√2，2-2√2),B(3+2√2，2+2√2)，AB的距离M=8，圆心（3,2）
∴AB：（x-3）²+（y-2）²=16
（2）设直线l：y=kx+b，因为过点F（1,0），所以y=kx-k
设A（xa，ya），B（xb，yb）
因为过抛物线y²=4x，所以ya=2√xa，yb=2√xb
因为丨FA丨=2丨FB丨
2×√（xa-1）²+ya²=√（xb-1）²+yb²
解得xb=1+2xa
所以A（xa，2√xa），B（1+2xa，2√1+2xa）
直线l过点A,B，将A,B两点坐标带人l：y=kx-k，可求出k