Question

初中数学题

自然数的积A=1X2X3X4……X50能够整除2的n次方，n为自然数，求n的最大值。

Answer 1

希望你能看懂这个思路
1-50中
被2整除的数有25个
被4整除的数有12个
被8整除的数有6个
被16整除的数有3个
被32整除的数有1个
被64整除的数有0个
所以指数最大为25+12+6+3+1=47

Answer 2

如果按照原题则n不存在，如果改为“A=1×2×3×4×……×50能够被2的n次方整除，其中n为自然数，求n的最大值。”则：
1至50当中一共有2的倍数25个，4的倍数12个，8的倍数6个，16的倍数3个，32的倍数1个。这些数（不考虑重复，例如每个8的倍数都是4的倍数，但8“含有”2的个数比4多1）一共有47个。因此A的质因数分解一共有47个相乘。2的n次方可以整除A，所以呢】的最大值为47.

Answer 3

审题，与2的n次方的关系，就变换A到和2有关：
A=1X2X3X4X5X6X7X8.....

=1X2X3X(2X2)X5X(2X3)X(2X2X2)...
=1X3X5...49X2X(2X2)X(2X3)X(2X4)...(2X25)
=1X3X5...49X(2X2...共25个2相乘)(1X2X3X4X..25)
(2X2...共25个2相乘) 后面省略为(2X2...25个)
又出现1X2...25,再调换一次
=(1X3X5...49)X(2X2...25个)X(1X3X5...25)X2X(2X2)X(2X3)X(2X4)...(2X12)
=(1X3X5...49)X(2X2...25个) X(1X3X5...25)X(2X2...12个) X(1X2X3X4X..12)
发现规律了，提出出来的那堆奇数和2没啥关系，主要是 2的倍数
1X2X3X4X..12=一堆奇数X(2X2...6个)X（1X2..X6）
1X2X3X4X..6=一堆奇数X(2X2...3个)x（1X2X3）
（1X2X3）=一堆奇数X2(1个）
进一步演变
=（一堆奇数相乘）X(2X2...25个) X(2X2...12个)X(2X2...12个)X(2X2...6个)X(2X2...3个)X2(1个）
=（一堆奇数相乘）X(2X2...共(25+12+6+3+1)个)
=（一堆奇数相乘）X（47个2相乘）
n不就是47了吗

Answer 4

本题其实含义是A里面能被分解出几个2的连续乘法
考虑1-50其中有25个偶数，可被除2则分离25个2和（1-25）.同理计算
则50/2=25， 25/2=12余1 12/2=6 6/2=3 3/2=1余1 ;取有效效整除部分
则N=25+12+6+3+1=47

Answer 5

可以写成 积A=1*2*3*2^2*5*（2*3）……*（2*5*5）
2的奇数倍为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25一共有13个数，也就是含13个2的因数
4的奇数倍有1，3，5，7，9，11共6个，含有6个2*2即12个2的因数
8的奇数倍有1，3，5共3个，所以含有3个2*2*2的因数，共9个2的因数
16的奇数倍有1，2共2个，所以含有4个2*2*2*2的因数，共8个2的因数
32的奇数倍有1，共1个，所以含有1个2*2*2*2*2的因数，共5个2的因数
所以该式中含有2的因数有13+12+9+8+5=47个即n最大为47