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题目:
如图,已知矩形(即小学学过的长方形)ABCD中,AD=6cm,AB=4cm,点E为AD的中点。
(1)若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BC上由点B向点C运动。
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△AEP与△BPQ是否全等,请说明理由,并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,运动时间为t秒,设△PEQ的面积为S cm2,请用t的代数式表示S;
③若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△AEP与△BPQ全等?
(2)若点Q以③中的运动速度从点B出发,点P以原来的运动速度从点A同时出发,都逆时针沿矩形ABCD的四条边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在矩形ABCD的哪条边上相遇?
解答:
(1)①当t=1时,AP=1,BQ=1,
∴AP=BQ.
∵E是AD的中点,
∴AE=12AD=12×6=3.
∵PB=AB=AP=4−1=3,
∴AE=PB.
在Rt△EAP和Rt△PBQ中,⎧⎩⎨⎪⎪AE=PB∠A=∠BAP=BQ,
∴△EAP≌Rt△PBQ.
②如图1所示连接QE.
图1
当t⩽4时,AP=BQ=t,
S梯形AEQB=12(AE+BQ)⋅AB=12×4×(3+t)=2t+6,
S△AEP=12AE⋅PA=12×3t=32t,S△PBQ=12PB⋅BQ=12×(4−t)t=2t−12t2.
∴S=2t+6−32t−(2t−12t2).
整理得:S=12t2−32t+6,
如图2所示:
当4<t⩽6时,点P与点B重合,
S=12QB⋅AB=12×4×t=2t.
∴S与t的函数关系式为S=⎧⎩⎨12t2−32t+6(0⩽t⩽4)2t(4<t⩽6);
③如图3所示:
∵△AEP≌△BQP,PA≠BQ,
∴AP=PB=2,AE=BQ=3.
∴t=AP=12AB=12×4=2.
∴点Q运动的速度为=3÷2=1.5cm/秒时,△AEP≌△BQP;
(2)设运动时间为t秒时,第一次相遇。
根据题意得1.5t−t=16.
解得t=32.
点P32秒运动的路程=32cm,根据矩形各边长可知点P和点Q经过32秒在DC上第一次相遇。
分析:
如图,已知矩形(即小学学过的长方形)ABCD中,AD=6cm,AB=4cm,点E为AD的中点。
(1)若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BC上由点B向点C运动。
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△AEP与△BPQ是否全等,请说明理由,并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,运动时间为t秒,设△PEQ的面积为S cm2,请用t的代数式表示S;
③若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△AEP与△BPQ全等?
(2)若点Q以③中的运动速度从点B出发,点P以原来的运动速度从点A同时出发,都逆时针沿矩形ABCD的四条边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在矩形ABCD的哪条边上相遇?
解答:
(1)①当t=1时,AP=1,BQ=1,
∴AP=BQ.
∵E是AD的中点,
∴AE=12AD=12×6=3.
∵PB=AB=AP=4−1=3,
∴AE=PB.
在Rt△EAP和Rt△PBQ中,⎧⎩⎨⎪⎪AE=PB∠A=∠BAP=BQ,
∴△EAP≌Rt△PBQ.
②如图1所示连接QE.
图1
当t⩽4时,AP=BQ=t,
S梯形AEQB=12(AE+BQ)⋅AB=12×4×(3+t)=2t+6,
S△AEP=12AE⋅PA=12×3t=32t,S△PBQ=12PB⋅BQ=12×(4−t)t=2t−12t2.
∴S=2t+6−32t−(2t−12t2).
整理得:S=12t2−32t+6,
如图2所示:
当4<t⩽6时,点P与点B重合,
S=12QB⋅AB=12×4×t=2t.
∴S与t的函数关系式为S=⎧⎩⎨12t2−32t+6(0⩽t⩽4)2t(4<t⩽6);
③如图3所示:
∵△AEP≌△BQP,PA≠BQ,
∴AP=PB=2,AE=BQ=3.
∴t=AP=12AB=12×4=2.
∴点Q运动的速度为=3÷2=1.5cm/秒时,△AEP≌△BQP;
(2)设运动时间为t秒时,第一次相遇。
根据题意得1.5t−t=16.
解得t=32.
点P32秒运动的路程=32cm,根据矩形各边长可知点P和点Q经过32秒在DC上第一次相遇。
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