Question

求解三道高数题，其中（3）是证明这个不等式？

题在图里。谢谢各位高数大佬了。

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Answer 1

1，2都是罗尔定理，3是拉格朗日中值定理
题1，x有0，1，3，5四个零点
于是每两个之间有f'(x)=0点
所以有三个根
题2，(x1，x2)，(x2，x3)之间都有f'(x)=0的点
那么再用一次罗尔定理
两个不同的一阶导数为零的点
得到有二阶导数为零的点
3，b>a，于是就可以得到
(lnb-lna)/(b-a)=(lnx)' ，x=ξ
lnx的导数为1/x，而ξ取值在a和b之间
当然就是1/b <1/ξ <1/a

Answer 2

证明:设f(x)=lnx，由于0<a<b
所以在[a，b]上利用拉格朗日义中值定理，得
lnb-lna=1/ξ(b-a)
∵0<a<ξ<b
∴(b-a)/b<lnb/a<(b-a)/a