Question

高一数学：已知函数f(x)满足f(loga X)=a/a^2-1 （x-x^-1）（a>0,a不等于1）

Answer 1

解：（1）令t=logax（t∈r），
则x=at，
．
∴
（x∈r）．
（2）∵
，且x∈r，
∴f（x）为奇函数．
当a＞1时，指数函数y=ax是增函数，
是减函数，y=-a-x是增函数．
∴y=ax-a-x为增函数，
又因为
，
∴
，（x∈r）是增函数．
当0＜a＜1时，指数函数y=ax是减函数，
是增函数，y=-a-x是减函数．
∴u（x）=ax-a-x为减函数．
又因为
，
∴
，（x∈r）是增函数．
综上可知，在a＞1或0＜a＜1时，y=f（x），（x∈r）都是增函数．
（3）由（2）可知y=f（x），（x∈r）既是奇函数又是增函数．
∵f（1-m）+f（1-m2）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m2），
又y=f（x），（x∈r）是奇函数，
∴f（1-m）＜f（m2-1），，
因为函数y=f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴-1＜1-m＜m2-1＜1，
解之得：
．
(2)f(x)是r上的增函数,
则f(x)-4在r上也是增函数.
由x<2得f(x)<f(2)
要使f(x)-4在(-无穷,2)上恒负,
只需f(2)-4<0
--->[a/(a^2-1)][a-a^(-2)]-4=<0
--->2-根3=<a=<2+根3
即a取值范围为:
[2-根3,2+根3]