Question

已知二次函数 f ( x )＝ ax 2 ＋ bx ＋1( a ＞0)， F ( x )＝ 若 f (－1)＝0，且对任意实数 x 均有 f (

已知二次函数 f ( x )＝ ax 2 ＋ bx ＋1( a ＞0)， F ( x )＝ 若 f (－1)＝0，且对任意实数 x 均有 f ( x )≥0成立．(1)求 F ( x )的表达式；(2)当 x ∈[－2,2]时， g ( x )＝ f ( x )－ kx 是单调函数，求 k 的取值范围．

Answer 1

（1） F ( x )＝ （2）(－∞，－2]∪[6，＋∞)

(1)∵ f (－1)＝0，∴ a － b ＋1＝0，∴ b ＝ a ＋1， ∴ f ( x )＝ ax 2 ＋( a ＋1) x ＋1. ∵ f ( x )≥0恒成立， ∴  即 ∴ a ＝1，从而 b ＝2，∴ f ( x )＝ x 2 ＋2 x ＋1， ∴ F ( x )＝ (2)由(1)知， g ( x )＝ x 2 ＋2 x ＋1－ kx ＝ x 2 ＋(2－ k ) x ＋1. ∵ g ( x )在[－2,2]上是单调函数， ∴ ≤－2或 ≥2， 解得 k ≤－2或 k ≥6. 所以 k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)