Question

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC，AD交于点E，且CE=AB=AC，连接BD，交AC于点F． （I）证明：B

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC，AD交于点E，且CE=AB=AC，连接BD，交AC于点F． （I）证明：BD平分∠ABC； （II）若AD=6，BD=8，求DF的长．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵CE=AC，∴∠E=∠CAE， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB． ∵∠DBC=∠CAE，∴∠DBC=∠E=∠CAE．  ∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠ACB=∠E+∠CAE， ∴∠ABD=∠CAE， ∴∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC．  （Ⅱ）由（Ⅰ）知∠CAE=∠DBC=∠ABD． 又∵∠ADF=∠ADB， ∴△ADF∽△BDA， ∴  ， ∵AD=6，BD=8． ∴  ．