Question

高等数学:空间解析几何求解

4.5两个题。谢谢

Answer 1

(4)。过点P(a，b，c)(a>0,b>0,c>0)且垂直于向量OP={a,  b,  c}的平面π的方程为：

a(x-a)+b(y-b)+c(z-c)=0，即ax+by+cz-(a²+b²+c²)=0；令a²+b²+c²=r，则方程可简化为：

ax+by+cz-r=0；其在三个坐标轴上的截距为：x=r/a；y=r/b；z=r/c；

设A(r/a，0，0)；  B(0，r/b，0)；  C(0，0，r/c)；那么向量AB和向量AC的坐标为：

(5)。证明L₁:  (x-1)/1=(y+1)/2=(z+1)/1；  L₂：(x-3)/2=(y-2)/1=(z-3)/2；是异面直线，并

求与它们同时垂直且相交的直线方程；

将L₁的方程化为参数方程：x=t+1；y=2t-1；z=t-1；

再将L₂的方程化为参数方程：x=2m+3；y=m+2；z=2m+3;

由t+1=2m+3，得t-2m=2..........①；由2t-1=m+2，得2t-m=1...........②

由②得m=2t-1，代入①式得 t-2(2t-1)=-3t+2=2，故得t=0，m=-1；

将t=0代入z=t-1得z₁=-1；再将m=-1 代入z=2m+3得z₂=1；可见 z₁≠z₂；

∴L₁与L₂是异面直线；

L₁的方向矢量N₁={1，2，1}；L₂的方向矢量N₂={2，1，2}；

那么它们的公垂线的方向矢量N=N₁×N₂=3i-3k={3，0，-3}；

直线L₁上的任意一点A的坐标为(t+1，2t-1，t-1)；

直线L₂上任意一点B的坐标为(2m+3，m+2，2m+3)；

向量AB={(2m+3)-(t+1)，(m+2)-(2t-1)，(2m+3)-(t-1)}={2m-t+2，m-2t+3，2m-t+4}；

令向量AB=λN；即2m-t+2=3λ.......①；m-2t+3=0λ=0.........②；2m-t+4=-3λ..........③

①②③联立求解,得：t=1，m=-1，λ=-1/3；故L₁上的点A的坐标为(2，1，0};

【检验：L₂上的点B的坐标为(1，1，1)；∴向量AB={-1，0，1}】

∴向量AB=λN=λ{3，0，-3}=-(1/3){3，0，-3}={-1，0，1}；

∴与L₁，L₂都垂直且相交的直线L的标准方程为：(x-2)/(-1)=(y-1)/0=z/1；

Answer 2

析几何求解