Question

如图，三棱柱ABC-A′B′C′中，点A′在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC′=2．（1）证明

如图，三棱柱ABC-A′B′C′中，点A′在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC′=2．（1）证明：AC′⊥A′B；（2）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A′-AB-C的正切值．

Answer 1

（本小题12分）
（1）证明：因为A′D⊥平面ABC，A′D?平面AA′C′C，
故平面AA′C′C⊥平面ABC．
又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA′C′C，
连接A′C，因为侧面AA′C′C为菱形，所以AC′⊥A′C，
故AC′⊥A′B．（4分）
（2）解：∵BC⊥平面AA′C′C，BC?平面BCC′B′，
∴平面AA′C′C⊥平面BCC′B′．
作AE′⊥CC′，E为垂足，则A′E⊥平面BCC′B′．
又直线AA′∥平面BCC′B′，
因而A′E为直线AA′与平面BCC′B′的距离，A′E＝

3

．
因为A′C为∠ACC′的平分线，故A′D＝A′E＝

3

．
作DF⊥AB，F为垂足，连接A′F．由三垂线定理得A′F⊥AB，
∴∠A′FD为二面角A′-AB-C的平面角，
由AD=

AA′2?A′D2

=1，得D为AC中点，
DF=

1

2

×

AC×BC

AB

＝

5

5

，tan∠A′FD=

A′B

DF

＝

15

，
∴二面角A′-AB-C的正切值为

15

．