设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且g(x)≠0,当x<0时f′(x)g(x)>f(x)g′(x
设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且g(x)≠0,当x<0时f′(x)g(x)>f(x)g′(x),且f(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解...
设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且g(x)≠0,当x<0时f′(x)g(x)>f(x)g′(x),且f(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是______.
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∵f(x)和g(x)(g(x)≠0)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,
∴f(-x)=-f(x) g(-x)=g(x)
∵当x<0时,f′(x)g(x)>f(x)g′(x),∴f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0
当x<0时,[
]′=
>0,
令h(x)=
,则h(x)在(-∞,0)上单调递增,
∵h(-x)=
=
=?h(x),
∴h(x)为奇函数,
根据奇函数的性质可得函数h(x)在(0,+∞)单调递增,
∵f(-3)=-f(3)=0,∴h(-3)=-h(3)=0
h(x)<0的范围为(-∞,-3)∪(0,3)
故答案为:(-∞,-3)∪(0,3)
∴f(-x)=-f(x) g(-x)=g(x)
∵当x<0时,f′(x)g(x)>f(x)g′(x),∴f′(x)g(x)-f(x)g′(x)>0
当x<0时,[
f(x) |
g(x) |
f′(x)g(x)?f(x)g′(x) |
g2(x) |
令h(x)=
f(x) |
g(x) |
∵h(-x)=
f(?x) |
g(?x) |
?f(x) |
g(x) |
∴h(x)为奇函数,
根据奇函数的性质可得函数h(x)在(0,+∞)单调递增,
∵f(-3)=-f(3)=0,∴h(-3)=-h(3)=0
h(x)<0的范围为(-∞,-3)∪(0,3)
故答案为:(-∞,-3)∪(0,3)
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