Question

这个多元函数求极限里面有两个自变量为什么不可以单独代不为0的y值极限进去然后算？

Answer 1

答：任何数乘以0都是0，因此，如果代入2和代入5都是一样的，因此在没有解决0的问题之前，代入y和代入z都是0，甚至可以推导出y=z。这就是不能单独代入y值计算的主要原因。
这道题并不是很难，可以代入将sinyx进行麦克劳伦级数展开。相当于令yx=t， 把yx看作是一个未知数；即：sinxy=xy+(1/3!)(yx)^3+0[(xy)^5]
原式=lim(x→0,y→2) {{xy+(1/3!)(yx)^3+0[(xy)^5]}/(xy)}^(1/x^2)
=lim(x→0,y→2) {1+(1/3!)(yx)^2+0[(xy)^5]/(xy)}^(1/x^2) (略去高阶无穷小）
=lim(x→0,y→2) {{1+1/[6/(yx)^2]}^[6/(yx)^2]}^(y^2/6)
=e^(2^2/6)=e^(2/3)。

Answer 2

第三个等后面分子错了。